Question

11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結(jié)論；
（2）連接BF，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切線；
（2）連接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△OCA，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OA}=\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{AC}{5}=\frac{AE}{5}=\frac{2}{AC}$，
∴AC=AE=$\sqrt{10}$，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{EF}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{8}{EF}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．