Question

3．某校機(jī)器人興趣小組在如圖①所示的矩形場地上開展訓(xùn)練．機(jī)器人從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形ABCD邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止移動．已知機(jī)器人的速度為1個單位長度/s，移動至拐角處調(diào)整方向需要1s（即在B、C處拐彎時(shí)分別用時(shí)1s）．設(shè)機(jī)器人所用時(shí)間為t（s）時(shí)，其所在位置用點(diǎn)P表示，P到對角線BD的距離（即垂線段 PQ的長）為d個單位長度，其中d與t的函數(shù)圖象如圖②所示．
（1）求AB、BC的長；
（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在線段EF、GH上，線段MN平行于橫軸，M、N的橫坐標(biāo)分別為t₁、t₂．設(shè)機(jī)器人用了t₁（s）到達(dá)點(diǎn)P₁處，用了t₂（s）到達(dá)點(diǎn)P₂處（見圖①）．若CP₁+CP₂=7，求t₁、t₂的值．

Answer 1

分析 （1）作AT⊥BD，垂足為T，由題意得到AB=8，AT=$\frac{24}{5}$，在Rt△ABT中，根據(jù)勾股定理得到BT=$\frac{32}{5}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）如圖，連接P₁P₂．過P₁，P₂分別作BD的垂線，垂足為Q₁，Q₂．則P₁Q₁∥P₂Q₂．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到d₁=d₂，得到P₁Q₁=P₂Q₂．根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{{C{P_1}}}{6}=\frac{{C{P_2}}}{8}$．設(shè)M，N的橫坐標(biāo)分別為t₁，t₂，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）作AT⊥BD，垂足為T，由題意得，AB=8，AT=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABT中，AB²=BT²+AT²，
∴BT=$\frac{32}{5}$，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{AT}{BT}$，
∴AD=6，
即BC=6；

（2）在圖①中，連接P₁P₂．過P₁，P₂分別作BD的垂線，垂足為Q₁，Q₂．
則P₁Q₁∥P₂Q₂．
∵在圖②中，線段MN平行于橫軸，
∴d₁=d₂，即P₁Q₁=P₂Q₂．∴
P₁P₂∥BD．
∴$\frac{{C{P_1}}}{CB}=\frac{{C{P_2}}}{CD}$．
即$\frac{{C{P_1}}}{6}=\frac{{C{P_2}}}{8}$．
又∵CP₁+CP₂=7，
∴CP₁=3，CP₂=4．
設(shè)M，N的橫坐標(biāo)分別為t₁，t₂，
由題意得，CP₁=15-t₁，CP₂=t₂-16，
∴t₁=12，t₂=20．

點(diǎn)評 本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．