Question

6．如圖所示，D是Rt△ABC斜邊上的一點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF．若AD=3，DB=4，試求S_△ADE+S_△BDF的值．

Answer 1

分析 連接CD，由DE⊥AC、DF⊥BC、∠ECF=90°、DE=DF可得出四邊形AFCE為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DB}{BC}$，設(shè)AC=3x，則BC=4x，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x．根據(jù)AB=7可求出x值，進(jìn)而得出AC、BC的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出S_△ADE、S_△BDF與S_△ABC之間的關(guān)系，結(jié)合三角形的面積公式即可求出S_△ADE+S_△BDF的值．

解答 解：連接CD，如圖所示．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ECF=90°，DE=DF，
∴四邊形AFCE為正方形，
∴CD平分∠ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DB}{BC}$．
∵AD=3，DB=4，
∴設(shè)AC=3x，則BC=4x，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5x．
∵AB=AD+DB=7，
∴x=$\frac{7}{5}$，
∴AC=$\frac{21}{5}$，BC=$\frac{28}{5}$．
∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=$\frac{9}{49}$．
同理可得：$\frac{{S}_{△BDF}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{DB}{AB}$）²=$\frac{16}{49}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{294}{25}$，
∴S_△ADE+S_△BDF=（$\frac{9}{49}$+$\frac{16}{49}$）S_△ABC=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出S_△ADE、S_△BDF與S_△ABC之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．