Question

14．閱讀1：a、b為實(shí)數(shù)，且a＞0，b＞0因?yàn)椋?\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0從而a+b≥2$\sqrt{ab}$（當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
閱讀2：若函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$；（m＞0，x＞0，m為常數(shù)），由閱讀1結(jié)論可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以當(dāng)x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$時(shí)，函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$的最小值為2$\sqrt{m}$．
閱讀理解上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：
問(wèn)題1：已知一個(gè)矩形的面積為4，其中一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為$\frac{4}{x}$，周長(zhǎng)為2（x+$\frac{4}{x}$），求當(dāng)x=2時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為8；
問(wèn)題2：已知函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=x²+2x+10（x＞-1），當(dāng)x=2時(shí)，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值為6．

Answer 1

分析 問(wèn)題1：根據(jù)閱讀1、2給定內(nèi)容可知：當(dāng)x=$\frac{4}{x}$，x+$\frac{4}{x}$有最小值，解方程求出x的值，代入x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$即可得出結(jié)論；
問(wèn)題2：根據(jù)給定y₁、y₂找出$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，由閱讀材料可知當(dāng)x+1=$\frac{9}{x+1}$時(shí)，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值，解方程求出x的值，再代入x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$即可得出結(jié)論．

解答 解：?jiǎn)栴}1：∵矩形的一邊長(zhǎng)為x，另一邊長(zhǎng)為$\frac{4}{x}$，
∴x＞0．
令x=$\frac{4}{x}$，解得：x=2，
∴x=2時(shí)，x+$\frac{4}{x}$有最小值為2×$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為2×4=8．
故答案為：2；8．
問(wèn)題2：∵函數(shù)y₁=x+1（x＞-1），函數(shù)y₂=x²+2x+10（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+10}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
∵x＞-1，
∴x+1＞0．
令x+1=$\frac{9}{x+1}$，解得：x=2，或x=-4（舍去），
∴當(dāng)x=2時(shí)，（x+1）+$\frac{9}{x+1}$有最小值為2×$\sqrt{（x+1）•\frac{9}{x+1}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀材料的結(jié)論“x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以當(dāng)x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$時(shí)，函數(shù)y=x+$\frac{m}{x}$的最小值為2$\sqrt{m}$”解決問(wèn)題．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)閱讀材料給出的結(jié)論解決問(wèn)題是關(guān)鍵．