Question

6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，將二次函數(shù)y=x²-1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖象N．
（1）求N的函數(shù)表達式；
（2）設點P（m，n）是以點C（1，4）為圓心、1為半徑的圓上一動點，二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點A、B，求PA²+PB²的最大值；
（3）若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數(shù)，則該點稱為整點．求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)N的圖象是由二次函數(shù)M翻折、平移得到所以a=-1，求出二次函數(shù)N的頂點坐標即可解決問題．
（2）由PA²+PB²=（m+1）²+n²+（m-1）²+n²=2（m²+n²）+2=2•PO²+2可知OP最大時，PA²+PB²最大，求出OP的最大值即可解決問題．
（3）畫出函數(shù)圖象即可解決問題．

解答 （1）解：二次函數(shù)y=x²-1的圖象M沿x軸翻折得到函數(shù)的解析式為y=-x²+1，此時頂點坐標（0，1），
將此圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度得到二次函數(shù)圖象N的頂點為（2，9），
故N的函數(shù)表達式y(tǒng)=-（x-2）²+9=-x²+4x+5．
（2）∵A（-1，0），B（1，0），
∴PA²+PB²=（m+1）²+n²+（m-1）²+n²=2（m²+n²）+2=2•PO²+2，
∴當PO最大時PA²+PB²最大．如圖，延長OC與⊙C交于點P，此時OP最大，

∴OP的最大值=OC+PC=$\sqrt{17}$+1，
∴PA²+PB²最大值=2（$\sqrt{17}$+1）²+2=38+4$\sqrt{17}$．
（3）M與N所圍成封閉圖形如圖所示，

由圖象可知，M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)為25個．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、最值問題等知識，解題的關鍵是記住函數(shù)圖象的平移、翻折變換的規(guī)律，學會轉化的思想，把問題轉化為我們熟悉的問題解決，屬于中考壓軸題．