Question

19．如圖⊙M與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點M的坐標是（-3，1），點A坐標為（2，0），點B的坐標為（1，-$\sqrt{3}$），點D在x軸上，且點D在點A的右側(cè)．
（1）求菱形ABCD的周長；
（2）若⊙M沿x軸向右以每秒3個單位長度的速度平移，菱形ABCD沿x軸向左以每秒2個單位長度的速度平移，設菱形移動的時間為t（秒），當⊙M與AD相切，且切點為AD的中點時，連接AC，求t的值及∠MAC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，當點M與BD所在的直線的距離為1時，求t的值．
．

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥AD，垂足為E．由點A和點B的坐標可知：BE=$\sqrt{3}$，AE=1，依據(jù)勾股定理可求得AB的長，從而可求得菱形的周長；
（2）記⊙M與x軸的切線為F，AD的中點為E．先求得EF的長，然后根據(jù)路程=時間×速度列出方程即可；平移的圖形如圖3所示：過點B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F(xiàn)為⊙M與AD的切點．由特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠EAB=60°，依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到∠FAC=60°，然后證明△AFM是等腰直角三角形，從而可得到∠MAF的度數(shù)，故此可求得∠MAC的度數(shù)；
（3）利用菱形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)，分兩種情況先求出AE即可得出時間t．

解答 解：（1）過點B作BE⊥AD，垂足為E．

∵B（1，-$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴BE=$\sqrt{3}$，AE=1．
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=CD=AD．
∴菱形的周長=2×4=8．
（2）如圖2所示：⊙M與x軸的切線為F，AD的中點為E．

∵M（-3，1），
∴F（-3，0）．
∵AD=2，且E為AD的中點，
∴E（3，0）．
∴EF=6．
∴2t+3t=6．
解得：t=$\frac{6}{5}$．
平移的圖形如圖3所示：

過點B作BE⊥AD，垂足為E，連接MF，F(xiàn)為⊙M與AD的切點．
∵由（1）可知；AN=1，BN=$\sqrt{3}$，
∴tan∠NAB=$\sqrt{3}$．
∴∠NAB=60°．
∴∠FAB=120°．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠FAB=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
∵AD為⊙M的切線，
∴MF⊥AD．
∵F為AD的中點，
∴AF=MF=1．
∴△AFM為等腰直角三角形．
∴∠MAF=45°．
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=45°+60°=105°．
（3）如圖4所示，

連接DM，過點M作MN⊥BD，垂足為N，并延長交x軸于P，作ME⊥AD，垂足為E．
∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=120°，
∴∠PDN=∠ADB=30°．
∵BD、AD是⊙M的切線，
∴∠PME=30°
∵ME=1，
在Rt△PME中，PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PDN中，PN=PM-1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1，
∴PD=2PN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2，
∴DE=PE-PD=2-$\sqrt{3}$，
∴EA=5+2-（2-$\sqrt{3}$）=5+$\sqrt{3}$．
∴3t+2t=5+$\sqrt{3}$．
∴t=1+$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
如圖5所示：連接AM，過點作MN⊥AC，垂足為N，作ME⊥AD，垂足為E．

∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=120°，
∴∠PDN=∠ADB=30°．
∵BD、AD是⊙M的切線，
∴∠PME=30°．
∵ME=1，
在Rt△PME中，PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△PDN中，PN=PM+1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1，
∴PD=2PN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2，
∴DE=PD-PE=2+$\sqrt{3}$，
∴EA=5+2+（2-$\sqrt{3}$）=9-$\sqrt{3}$．
∴3t+2t=9-$\sqrt{3}$．
∴t=$\frac{9}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
綜上所述當t=1+$\frac{\sqrt{3}}{5}$或t=$\frac{9}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{5}$時，⊙M與AC相切．

點評 此題是圓的綜合題，主要應用了切線的性質(zhì)、切線長定理、菱形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、勾股定理的應用根據(jù)題意列出關于t的方程是解題的關鍵．