Question

8．如圖1，已知拋物線y=ax²+（1-3a）x-3（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線y=-x+5與拋物線交于D、E，與直線BC交于P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求PD•EP的值；
（3）如圖2，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0）、B（x₂，0），頂點(diǎn)為C，若△ABC為直角三角形，則b²-4ac=m（m＞0），求m的值．

Answer 1

分析 （1）先確定B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線BC的解析式，解方程組即可解決問題．
（2）由題意可以假設(shè)D（m，-m+5），E（n，-n+5），可得-m+5=am²+（1-3a）m-3，-n+5=an²+（1-3a）n-3，所以a=$\frac{2（4-m）}{{m}^{2}-3m}$=$\frac{2（4-n）}{{n}^{2}-3n}$，化簡(jiǎn)得（m-n）（4m+$n-mn-12）=0，因?yàn)閙≠n，所以4m+4n-mm-12=0，即（4-m）（4-n）=4，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可解決問題．
（3）由于拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以b²-4ac＞0；求得線段AB的表達(dá)式，利用公式法可得到頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得斜邊AB上的高（設(shè)為CD），若△ABC為等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系求出b²-4ac的值．

解答 解：（1）對(duì)于拋物線y=ax²+（1-3a）x-3（a＞0），令y=0，
則有ax²+（1-3a）x-3=0，
解得x=3或-$\frac{1}{a}$＜0（在x軸的負(fù)半軸上），
∴點(diǎn)B（3，0），
令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
∴直線BC的解析式為y=x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，1）．

（2）由題意可以假設(shè)D（m，-m+5），E（n，-n+5），
∵D、E在拋物線上，
∴-m+5=am²+（1-3a）m-3，-n+5=an²+（1-3a）n-3，
∴a=$\frac{2（4-m）}{{m}^{2}-3m}$=$\frac{2（4-n）}{{n}^{2}-3n}$，化簡(jiǎn)得（m-n）（4m+$n-mn-12）=0，
∵m≠n，
∴4m+4n-mm-12=0，
∴（4-m）（4-n）=4，
由兩點(diǎn)之間距離公式得PE=$\sqrt{（4-n）^{2}+（1+n-5）^{2}}$=$\sqrt{2}$（4-n），PD=$\sqrt{（4-m）^{2}+（1+m-5）^{2}}$=$\sqrt{2}$（4-m），
∴PD•PE=2（4-m）（4-n）=8．

（3）令y=ax²+bx+c（a≠0）中y=0，則有ax²+bx+c=0，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$．
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c=a（x+$\frac{2a}$）²+$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴2×|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$，
令b²-4ac=m，則有m²-4m=0，
解得：m=4，或m=0，
∵二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)，
∴m≠0，
∴m=b²-4ac=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，兩點(diǎn)之間距離公式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，利用等腰直角（等邊）三角形的性質(zhì)得出邊與邊的關(guān)系是關(guān)鍵．