Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙0，交BC于D，DE⊥AC于E，連接0E．
（1）求證：DE為⊙0的切線；
（2）若cos∠ABD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求tan∠AEO的值．

Answer 1

分析 （1）利用AB為直徑，AB=AC判斷出OD∥AC，得到∠ODE=90°即可，
（2）設(shè)BD=CD=$\sqrt{5}$x，表示出AB=AC=5x，OD=OB=OA=$\frac{5}{2}$x，即可‘

解答 證明：（1）連接OD，AD，
∵AB為直徑．
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴點D為BC中點，
∴OD為△ABC中位線，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；
（2）設(shè)BD=CD=$\sqrt{5}$x，
∴AB=AC=5x，
∴OD=OB=OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，
∵cos∠C=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=CD×sin∠C=$\sqrt{5}$x×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2x，
∴tan∠AEO=tan∠DOE=$\frac{DE}{OD}$=$\frac{2x}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{4}{5}$．

點評 此題是切線的判定，主要考查了切線的判定定理，三角形中位線的性質(zhì)，合理運用銳角三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．