Question

已知直線y=-

3

4

x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）C點(diǎn)坐標(biāo)為

 

；（用t來表示）
（2）求CD的長；
（3）設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時，h的值最大？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)直接代入求出即可；
（2）根據(jù)過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，得出△DEC∽△AOB，進(jìn)而得出CD的長；
（3）要使OC邊上的高H的值最大，只要OC最短，當(dāng)OC⊥AB時，CO最短，此時OC的長為

12

5

，∠BCO=90°，進(jìn)而得出t的值．

解答：解：（1）∵C點(diǎn)在直線y=-

3

4

x+3上，
∴設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則C（t，-

3

4

t+3）；
故答案為：（t，-

3

4

t+3）；

（2）以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式為y=（x-t）²-

3

4

t+3，
由（x-t）²-

3

4

t+3=-

3

4

x+3，
解得：x₁=t，x₂=t-

3

4

，
過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，
則∠DEC=∠AOB=90°，
DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴

DE

AO

=

CD

AB

，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-

3

4

）=

3

4

，
∴CD=

DE×BA

AO

=

3 4 ×5

4

=

15

16

；

（3）∵CD=

15

16

，CD邊上的高=

3×4

5

=

12

5

，
∴S_△COD=

1

2

×

15

16

×

12

5

=

9

8

，
∴S_△COD為定值，
要使OC邊上的高H的值最大，只要OC最短，
∵當(dāng)OC⊥AB時，CO最短，此時OC的長為

12

5

，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴

OP

BO

=

OC

BA

，
∴OP=

OC×BO

BA

=

12 5 ×3

5

=

36

25

，即t=

36

25

，
當(dāng)t為

36

25

秒時，h的值最大．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出相似三角形進(jìn)而得出線段長度是解題關(guān)鍵．