Question

5．
【問(wèn)題情境】
將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF⊥AC于點(diǎn)M，DE⊥BC于點(diǎn)N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【探究展示】
小宇同學(xué)展示出如下正確的解法
解：OM=ON，
證明如下：
連接CO，則CO是AB邊上的中線
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分線．（依據(jù)1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON（依據(jù)2）
【反思交流】
（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指
依據(jù)1：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）
依據(jù)2：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等
（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程．
【拓展延伸】
（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線與CA的延長(zhǎng)線垂直相交于點(diǎn)M，BC的延長(zhǎng)線與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM，ON，試判斷線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出即可；
（2）證△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．

解答 （1）解：
依據(jù)1：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；
依據(jù)2：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．
 
（2）證明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{OA=OB}\\{∠AMO=∠BNO}\end{array}\right.$，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON． 

（3）解：OM=ON，OM⊥ON．
理由如下：
如圖2，連接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴$\frac{AC}{DN}$=$\frac{BC}{BN}$，
∵AC=BC，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四邊形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O為AB中點(diǎn)，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜邊中線等于斜邊一半），
在△MOC和△NOB中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠1=∠B}\\{CM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定、角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，正確應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．