Question

17．如圖，四邊形ABCD為正方形，∠AEC=90°，過點E作EF⊥AD交BC于點I，交AD于點F，連接BF交AE于點G，連接CG，交DF=3，AB=5，則tan∠CGE=$\frac{11\sqrt{2}}{24}$．

Answer 1

分析 由△AEF∽△ECI，設EI=x，得$\frac{AF}{EI}$=$\frac{EF}{IC}$，列出方程求出x，再求出AE，EC，由AB∥EF，推出$\frac{AG}{GE}$=$\frac{AB}{EF}$=$\frac{5}{6}$，即可求出EG，由此即可解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DFE=∠EIC=∠D=90°，
∴四邊形DFIC是矩形，
∴DF=CI=3，
∵∠AEF+∠CEI=90°，∠CEI+∠ECI=90°，
∴∠AEF=∠ECI，∵∠AFE=∠EIC=90°，
∴△AEF∽△ECI，設EI=x，
∴$\frac{AF}{EI}$=$\frac{EF}{IC}$，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{5+x}{3}$，
∴x²+5x-6=0，
∴x=1或-6，
∴IE=1，EF=6，EC=$\sqrt{E{I}^{2}+I{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AB∥EF，
∴$\frac{AG}{GE}$=$\frac{AB}{EF}$=$\frac{5}{6}$，
∴EG=$\frac{6}{11}$×2$\sqrt{10}$=$\frac{12\sqrt{10}}{11}$，
∴tan∠EGC=$\frac{EC}{EG}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{12\sqrt{10}}{11}}$=$\frac{11\sqrt{2}}{24}$．

點評 本題考查正方形的性質．解直角三角形、相似三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的性質求出IE，利用平行線分線段成比例定理求出GE，屬于中考�？碱}型．