Question

【題目】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過操作發(fā)現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大．

（1）請通過計算說明小明的猜想是否正確；

（2）如圖②，在△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AD＝10，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，求矩形PQMN面積的最大值；

（3）如圖③，在五邊形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°．小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】（1）正確，理由見解析；（2）當a＝5時，S矩形MNPQ最大為25；（3）矩形的最大面積為180．

【解析】

(1)設BF=x，則AF=12﹣x，證明△AFE∽△ABC，進而表示出EF，利用面積公式得出S矩形BDEF=﹣(x﹣6)2+24，即可得出結論；

(2)設DE=a，AE=10﹣a，則證明△APN∽△ABC，進而得出PN=10﹣a，利用面積公式S矩形MNPQ=﹣(a﹣5)2+25，即可得出結果；

(3)延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，連接IK，過點K作KL⊥BC于L，由矩形性質知AE=EH=10、CD=DH=8，分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=8、CG=HE=10，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用(1)的結論解答即可．

(1)正確；理由：

設BF=x(0＜x＜12)，

∵AB=12，

∴AF=12﹣x，

過點F作FE∥BC交AC于E，過點E作ED∥AB交BC于D，

∴四邊形BDEF是平行四邊形，

∵∠B=90°，

∴BDEF是矩形，

∵EF∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴=，

∴，

∴EF=(12﹣x)，

∴S矩形BDEF=EFBF=(12﹣x)x=﹣(x﹣6)2+24

∴當x=6時，S矩形BDEF最大=24，

∴BF=6，AF=6，

∴AF=BF，

∴當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大；

(2)設DE=a，(0＜a＜10)，

∵AD=10，

∴AE=10﹣a，

∵四邊形MNPQ是矩形，

∴PQ=DE=a，PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴PN=10﹣a，

∴S矩形MNPQ=PNPQ=(10﹣a)a=﹣(a﹣5)2+25，

∴當a=5時，S矩形MNPQ最大為25；

(3)延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，FG的中點K，連接IK，過點K作KL⊥BC于L，如圖③所示：

∵∠A=∠HAB=∠BCH=90°，

∴四邊形ABCH是矩形，

∵AB=16，BC=20，AE=10，CD=8，

∴EH=10、DH=8，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，，

∴△AEF≌△HED(ASA)，

∴AF=DH=8，

∴BF=AB+AF=16+8=24，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=10，

∴BG=BC+CG=20+10=30，

∴BI=BF=12，

∵BI=12＜16，

∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

∴IK=BG=15，

由(1)知矩形的最大面積為BIIK=12×15=180．