Question

11．如圖，△ABC中，AC=BC=a，AB=b，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點E，過點D作⊙O的切線MN，交CB的延長線于點M，交AC于點N．
（1）求證：MN⊥AC；
（2）連接BE，寫出求BE長的思路．

Answer 1

分析 （1）連接OD、CD，由BC是直徑可知∠BDC=90°，易證OD是△ABC的中位線，從而可知OD∥AC，由切線的性質可知：∠MDO=90°=∠MNC，從而得證．
（2）由于∠BEC=90°，AD與AC的長度已知，利用勾股定理即可求出CD的長度，然后利用等面積即可求出BE的長度．

解答 解：（1）連接 OD，CD．                 
∵BC 是⊙O 的直徑，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB        
∵AC=BC，∴D是AB的中點
又∵BC 是⊙O 的直徑，即O 為 BC的中點
∴OD∥AC，∠MDO=∠MNC       
∵MN是⊙O 的切線，切點為D
∴OD⊥MN，即∠MDO=90°=∠MNC
∴MN⊥AC               

（2）由BC 是⊙O 的直徑，可得∠BEC=90°；   
由CD⊥AB，在 Rt△ACD 中，AD、AC的長可知，
用勾股定理可求CD的長；
由AB?CD=2S_△ABC=AC?BE，可得BE的長．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及切線的性質，等腰三角形的性質，中位線的性質，勾股定理等知識，綜合程度較高，屬于中等題型．