Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)D（4，m）在拋物線上，連接BC、BD．試問(wèn)，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），將C（0，6）代入可求得a的值；
（2）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，作點(diǎn)DE∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE∥y軸，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，則BD=BD′，過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥x軸，垂足為F．接下來(lái)，證明△DEB≌△D′FB，則可得到點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，2），然后求得直線BD′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2，最后將y=-$\frac{1}{3}$x+2與y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），將C（0，6）代入得：-12a=6，解得a=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-6），整理得：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
（2）將x=4代入得：y=6．
∴D（4，6）．
如圖所示：作點(diǎn)DE∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE∥y軸，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，則BD=BD′，過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥x軸，垂足為F．

∵B（6，0），C（0，6），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45°．
∴∠OBC=∠EBC．
又∵∠D′BC=∠DBC，
∴∠DBE=∠D′BF．
在△DEB和△D′FB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D′FB=∠DEB}\\{∠DBE=∠D′BF}\\{BD=BD′}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△D′FB．
∴D′F=ED=2，BF=BE=6．
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)BD′的解析式為y=kx+2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：6k+2=0，解得k=-$\frac{1}{3}$，
∴BD′的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2．
將y=-$\frac{1}{3}$x+2代入y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6得：-$\frac{1}{3}$x+2=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，整理得：3x²-14x-24=0，解得：x=6（舍去）或x=-$\frac{4}{3}$．
將x=-$\frac{4}{3}$代入得：y=-$\frac{1}{3}$×（-$\frac{4}{3}$）+2=$\frac{4}{9}$+2=$\frac{22}{9}$
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，$\frac{22}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求得點(diǎn)D′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．