Question

9．如圖，在Rt△OBC中，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=$\sqrt{3}$，將△OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，將△OB₁C₁繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，使OB₂=OC，得到△OB₂C₂，…，如此繼續(xù)下去，得到△OB₂₀₁₆C₂₀₁₆，則點(diǎn)C₂₀₁₆的坐標(biāo)為（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．

Answer 1

分析 先解直角三角形求出∠BOC=60°，再求出OC₁、OC₂、OC₃、…、OC₂₀₁₆的長(zhǎng)度，再根據(jù)周角等于360°，每6次為一個(gè)循環(huán)，求出點(diǎn)C₂₀₁₆是第幾個(gè)循環(huán)組的第幾個(gè)點(diǎn)，再根據(jù)變化規(guī)律寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答 解：∵∠OBC=90°，且OC=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴sin∠BOC=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=60°，
∵將△OBC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，使OB₁=OC，
∴OC₁=2OC=2×2=4=2²，
OC₂=2OC₁=2×4=8=2³，
OC₃=2OC₂=2×8=16=2⁴，
…，
OC_n=2ⁿ⁺¹，
∴OC₂₀₁₆=2²⁰¹⁷，
∵2016÷6=336，
∴點(diǎn)C₂₀₁₆與點(diǎn)C在同一射線上，
∴OB₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$OC₂₀₁₆=2²⁰¹⁶，
C₂₀₁₆B₂₀₁₆=$\sqrt{3}$OB₂₀₁₆=$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶，
∴點(diǎn)C₂₀₁₆的坐標(biāo)為（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．
故答案為（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變換：旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．