Question

19．如圖．拋物線y=ax²+bx+$\frac{5}{2}$與直線AB交于點A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$），點D是拋物線上位于直線AB上方的一點（不與點A，B重合），連接AD，BD．
（1）求拋物線的解析；
（2）設(shè)△ADB的面為S，求出當S取最大值時的點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式即可．
（2）設(shè)點D坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），直線DC⊥x軸，與AB交于點C，根據(jù)S_△ABD=S_△ACD+S_△BCD構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值問題解決．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+$\frac{5}{2}$經(jīng)過點A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\frac{5}{2}=0}\\{16a+4b+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$．
（2）設(shè)點D坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$），直線DC⊥x軸，與AB交于點C，
∵直線AB解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴點C坐標（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∵S_△ABD=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$）×（4+1）=-$\frac{5}{4}$（m²-3m-4）=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{125}{16}$，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，△ADB面積最大，此時點D坐標（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{8}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．