Question

7．如圖，已知Rt△ADE與等腰Rt△ABC有公共頂點A，其中∠E=30°，∠EAC=15°現(xiàn)將△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180°）得到△AMN．其中直線AM，直線MN分別與直線BC相交于K，L兩點，當∠α=15°或60°或330°時．△MKL為等腰三角形．

Answer 1

分析 分三種情況進行討論計算，三種情況的處理方法類似，先求出∠AKC，再在△ACK中，利用內(nèi)角和定理求出∠CAK，即可求出∠α．

解答 解：如圖1，

∵△MKL為等腰三角形．
①當MK=ML時，即：∠MKL=∠MLK，
∵∠M=∠E=30°，
∴∠MKL=∠MLK=75°，
在△ACK中，∠ACB=45°，
∴∠MAC=180°-∠AKC-∠ACB=180°-（180°-∠MKL）-∠ACB=180°-（180-75°）-45°=30°，
∵∠EAC=15°，
∴∠α=∠EAM=15，
②如圖2，

當KM=KL時，
∵∠KLM=∠M=∠E=30°，
∴∠AKC=60°，
在△ACK中，∠ACB=45°，
∴∠MAC=180°-∠AKC-∠ACB=180°-60°-45°=75°，
∵∠EAC=15°，
∴∠α=∠EAM=60°，
③如圖3，
當LK=LM時，
∴∠MKL=∠M=∠E=30°，
∴∠AKB=30°，
∴∠CAM=∠ACB-∠AKB=45°-30°=15°，
∵∠EAC=15°，
∴∠EAM=30°，
∴∠α=360°-∠EAM=360°-30°=330°．
即：∠α=15°或60°或330°，
故答案為：15°或60°或330°．

點評 此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要考查了旋轉(zhuǎn)前后對應角相等，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是求出∠AKE．