Question

3．如圖，拋物線y=ax²-5ax+4（a＜0）經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D在x軸上，點E在拋物線上，且以A，B，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求拋物線的對稱軸，寫出與y軸交點C的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性得出點B（5，4），根據(jù)勾股定理求OA的長，寫出點A的坐標(biāo)并代入解析式中，求出a的值，寫出拋物線的解析式；
（2）解法一：
分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點D在x軸的正半軸上時，如圖1和圖2，設(shè)E（x，y），則y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
先求出x的值，再求點D的坐標(biāo)；②當(dāng)點D在x軸的負(fù)半軸上時，如圖3，構(gòu)成了?ABED，此種情況比較簡單，可以直接寫出點D的坐標(biāo)．
解法二：利用平移的性質(zhì)，A點平移到B點和D點與E點之間的平移情況一樣，再利用數(shù)形結(jié)合算出答案．

解答 解：（1）y=ax²-5ax+4，
對稱軸：x=-$\frac{-5a}{2a}$=$\frac{5}{2}$，且C（0，4），
∴B（5，4），OC=4，
∴BC=5，
∵AC=BC，
∴AC=5，
由勾股定理得：OA=3，
∴A（-3，0），
把A（-3，0）代入y=ax²-5ax+4中得：9a+15a+4=0，
a=-$\frac{1}{6}$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；
（2）解法一：①當(dāng)點D在x軸的正半軸上時，如圖1和圖2，過E作EF⊥x軸于F，過B作BG⊥x軸于G，
設(shè)E（x，y），則y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE=BD，AB=ED，
∵∠EDF=∠BAG，∠EFD=∠AGB=90°，
∴△EFD≌△BGA，
∴EF=BG=4，DF=AG，
∴AF=DG，
則y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4=-4，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{217}}{2}$，
如圖1，∴AF=$\frac{\sqrt{217}-5}{2}$-3=$\frac{\sqrt{217}-11}{2}$，
∴OD=OG-DG=5-AF=5-$\frac{\sqrt{217}-11}{2}$=$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，
∴D（$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，0），
如圖2，同理得△ABG≌△DEF，
∴DF=AG=3+5=8，
∴OD=OF+DF=$\frac{5+\sqrt{217}}{2}$+8=$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，
∴D（$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，0），
②如圖3，當(dāng)點D在x軸的負(fù)半軸上時，構(gòu)成了?ABED，
則點E與點C重合，AD=BC=5，
∴D（-8，0），
解法二：①當(dāng)點D在x軸的正半軸上時，如圖1和圖2，過E作EF⊥x軸于F，過B作BG⊥x軸于G，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
根據(jù)平移得：如圖1，A到B可以看作是：點A向右平移8個單位，再向上平移4個單位得到點B，則點E到D的平移規(guī)律相同，
設(shè)E（x，y），則y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4，
∴D（x+8，-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4+4），
∵D在x軸上，
∴-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4+4=0，
解得：x=$\frac{5±\sqrt{217}}{2}$，
∴D（$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，0）或（$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，0），
②如圖3，當(dāng)點D在x軸的負(fù)半軸上時，構(gòu)成了?ABED，
則點E與點C重合，
∵C（0，4），
由平移得：D（-8，0），

綜上所述，點D的坐標(biāo)為（$\frac{21-\sqrt{217}}{2}$，0）或（$\frac{21+\sqrt{217}}{2}$，0）或（-8，0）．

點評 本題綜合考查了二次函數(shù)、平行四邊形、全等三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)；運用了二次函數(shù)的對稱性求點的坐標(biāo)，并運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；對于由四點組成平行四邊形的問題，要分情況進(jìn)行討論，本題是按點D在x軸的正、負(fù)半軸的情況進(jìn)行分類，也可以利用點E在x軸的上方拋物線和下方拋物線分類．