Question

12．已知，如圖，在△ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列結(jié)論：①$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BE}$，②$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AD}{BE}$，③$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，④AB=2DE．其中正確的有（填序號(hào)）①③④．

Answer 1

分析 利用三角形面積以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和三角形中位線定理分別分析得出即可．

解答 解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴$\frac{1}{2}$BE•AC=$\frac{1}{2}$AD•BC，
∴BE•AC=AD•BC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BE}$，
故①正確；
無(wú)法得出AE•BE=AD•BD，故②錯(cuò)誤；
∵∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{EC}{BC}$，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，故③正確；
由AD⊥BC，BE⊥AC可得∠CEB=∠CDA=90°，∠C=∠C，
所以△CAD∽△CBE，
則$\frac{CE}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$
所以△CDE∽△CAB，
所以$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{AB}$，
又因?yàn)椤螩=60°，
所以CE：CB=1：2，
所以AB=2DE，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形面積以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和三角形中位線定理等知識(shí)，正確利用比例式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．