Question

19．如圖，函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數）的圖象經過A（1，4），B（a，b），其中a＞1，過點B作y軸的垂線，垂足為C，連接AB，AC．
（1）若△ABC的面積為4，求點B的坐標．
（2）在（1）的條件下，連接OB，求四邊形ACOB的面積．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出k，得出反比例函數的解析式，根據B在反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象上得出ab=4，根據△ABC的面積為4得出$\frac{1}{2}$×a×（4-b）=4，求出即可；
（2）根據反比例函數系數k的幾何意義得出S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=2，再由S_{四邊形ACOB}=S_△ABC+S_△OBC即可求解．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：4=$\frac{k}{x}$，
解得k=4，
則反比例函數的解析式為y=$\frac{4}{x}$．
∵B（a，b）在反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴ab=4．
∵△ABC的面積為4，
∴$\frac{1}{2}$×a×（4-b）=4，
∴2a-$\frac{1}{2}$ab=4，
∴2a-2=4，
a=3，
∵ab=4，
∴b=$\frac{4}{3}$．
則點B的坐標為（3，$\frac{4}{3}$）．

（2）∵B在反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象上，過點B作y軸的垂線，垂足為C，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴S_{四邊形ACOB}=S_△ABC+S_△OBC=4+2=6．

點評 本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．也考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求反比例函數的解析式．