Question

13．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）求證：∠ABC+∠ADC=180°；
（2）作∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，作DF∥BE于點(diǎn)F，求證：DF平分∠ADC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可證明；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠DFC，然后根據(jù)（1）的結(jié)論和△DCF中利用內(nèi)角和定理即可證得．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
（2）∵DF∥BE，
∴∠2=∠DFC，
∵∠1=∠2，直角△DCF中，∠DFC+∠4=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+∠4=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
即$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ADC=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠ADC=∠4，
∴∠3=∠4，即DF平分∠ADC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，正確證明$\frac{1}{2}$∠ABC+∠4=90°是關(guān)鍵．