Question

如圖，已知A₁，A₂，A₃，…A_n，…是x軸上的點(diǎn)，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n…=1，分別過(guò)點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…A_n，…作x軸的垂線交反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象于點(diǎn)B₁，B₂，B₃，…B_n，…，過(guò)點(diǎn)B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于點(diǎn)P₂…，記△B₁P₁B₂的面積為S₁，△B₂P₂B₃的面積為S₂…，△B_nP_nB_n+1的面積為S_n．求：
（1）S₁=

 

；
（2）S₁₀=

 

；
（3）S₁+S₂+S₃+…+S_n的和．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知B₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，y₁），B₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，y₂），B₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，y₃）…B_n點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，y_n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數(shù)的解析式即可求出y₁、y₂、y₃的值，再由三角形的面積公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n的值，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴設(shè)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n），
∵B₁，B₂，B₃…Bn在反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象上，
∴y₁=1，y₂=

1

2

，y₃=

1

3

…y_n=

1

n

，
∴S₁=

1

2

×1×（y₁-y₂）=

1

2

×1×（1-

1

2

）=

1

2

（1-

1

2

）；
∴S₁=

1

4

；
（2）S₁₀=

1

2

（

1

10

-

1

11

）=

1

220

；

（3）∵S₁=

1

2

×1×（y₁-y₂）=

1

2

×1×（1-

1

2

）=

1

2

（1-

1

2

）；
∴S₂=

1

2

×1×（y₂-y₃）=

1

2

×（

1

2

-

1

3

）；
S₃=

1

2

×1×（y₃-y₄）=

1

2

×（

1

3

-

1

4

）；
…
S_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．
∵S_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
故答案為：

1

4

，

1

220

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．