Question

7．已知，x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個(gè)根，
（1）求$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$的值；
（2）求一個(gè)新的一元二次方程，使它的兩根分別是原方程兩根的相反數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3，將$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$變形為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）由x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3可得出（-x₁）+（-x₂）=-（x₁+x₂）=-2、（-x₁）•（-x₂）=x₁•x₂=-3，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出當(dāng)a為1時(shí)，以-x₁和-x₂為兩根的一元二次方程，此題得解．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{10}{3}$．
（2）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴（-x₁）+（-x₂）=-（x₁+x₂）=-2，（-x₁）•（-x₂）=x₁•x₂=-3，
∴當(dāng)a=1時(shí)，-x₁和-x₂是方程x²+2x-3=0的解，
即新方程為x²+2x-3=0．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出x₁+x₂=2、x₁•x₂=-3；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系找出當(dāng)a=1時(shí)的一元二次方程，