Question

16．如圖，AB⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）若DF=12cm，cosE=$\frac{3}{5}$，E是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）根據(jù)cosE=$\frac{3}{5}$，得出AB的長(zhǎng)，即可求出AE的長(zhǎng)，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（2）解：連接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=12，
∵cosE=cosB=$\frac{3}{5}$，
∴AB=20，
∵E是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=10，
∴AE=10$\sqrt{2}$，
∵E是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠ADE=∠BDE=45°，
∴DG=AG=ADsin45°=16×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8$\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{A{E}^{2}-A{G}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴DE=DG+GE=14$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合題、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出AE，AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．