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2026年優(yōu)佳學案寒假活動九年級理綜
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1. 下列方程一定是關于 $ x $ 的一元二次方程的是(
).
A.$ 3x^{2}+\frac{2}{x}-1 = 0 $
B.$ x(x - 3) = x^{2}+2 $
C.$ ax^{2}-x + 2 = 0 $
D.$ x^{2}+x = 4 $
答案：D
解析：
一元二次方程的一般形式是 $ax^{2}+bx+c=0$（其中 $a\neq0$，$a$、$b$、$c$ 是常數）。
選項A：方程 $3x^{2}+\frac{2}{x}-1 = 0$ 中含有分式 $\frac{2}{x}$，不滿足整式方程這一條件，所以不是一元二次方程。
選項B：將方程 $x(x - 3)=x^{2}+2$ 展開得 $x^{2}-3x=x^{2}+2$，移項后得 $-3x - 2 = 0$，此時二次項系數為 $0$，不是一元二次方程。
選項C：當 $a = 0$ 時，方程 $ax^{2}-x + 2 = 0$ 變?yōu)?$-x + 2 = 0$，是一次方程，不一定是一元二次方程。
選項D：方程 $x^{2}+x = 4$ 可化為 $x^{2}+x - 4 = 0$，符合一元二次方程的一般形式，且二次項系數不為 $0$。
2. 一元二次方程 $ 4x^{2}+1 = 6x $ 的二次項系數、一次項系數、常數項分別是(
).
A.$ 4 $，$ 1 $，$ 6 $
B.$ 4 $，$ 6 $，$ 1 $
C.$ 4 $，$ -6 $，$ 1 $
D.$ 4 $，$ -6 $，$ -1 $
答案：C
解析：
一元二次方程的一般形式為 $ax^{2} + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
先將原方程 $4x^{2} + 1 = 6x$ 轉化為一般形式，即移項得到：
$4x^{2} - 6x + 1 = 0$。
從這個一般形式的方程中，可以直接讀出：
二次項系數 $a = 4$，
一次項系數 $b = -6$，
常數項 $c = 1$。
3. 若 $ a + b = 3 $，$ a - b = 7 $，則 $ ab = $(
).
A.$ -10 $
B.$ -40 $
C.$ 10 $
D.$ 40 $
答案：A
解析：
已知 $a + b = 3$，$a - b = 7$，
將兩式相加得：
$(a + b) + (a - b) = 3 + 7$
$2a = 10$
$a = 5$
將 $a = 5$ 代入 $a + b = 3$ 得：
$5 + b = 3$
$b = -2$
因此 $ab = 5 × (-2) = -10$。
4. 已知 $ x = 1 $ 是一元二次方程 $ x^{2}+ax - 3 = 0 $ 的一個根，則 $ a $ 的值為(
).
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $
答案：A
解析：
已知$x = 1$是方程$x^{2}+ax - 3 = 0$的一個根，將$x = 1$代入方程可得：
$1^{2}+a×1 - 3 = 0$，即$1 + a - 3 = 0$，
化簡得$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
5. 方程 $ 2x^{2}=1 $ 的解是(
).
A.$ x = \pm \frac{1}{2} $
B.$ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ x = \frac{1}{2} $
D.$ x = \sqrt{2} $
答案：B
解析：
首先，將方程 $2x^{2} = 1$ 化為 $x^{2} = \frac{1}{2}$的形式，
對方程兩邊同時開平方，得到：
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$，
化簡得：
$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
6. 一元二次方程 $ (x + 6)^{2}=16 $ 的解可轉化為兩個一元一次方程的解，其中一個一元一次方程是 $ x + 6 = 4 $，則另一個一元一次方程是(
).
A.$ x + 6 = -4 $
B.$ x + 6 = 4 $
C.$ x - 6 = 4 $
D.$ x - 6 = -4 $
答案：A
解析：
根據平方根的定義，若$a^{2}=b$，則$a=\pm\sqrt$。
對于方程$(x + 6)^{2}=16$，可得$x + 6=\pm\sqrt{16}$，即$x + 6 = 4$或$x + 6 = - 4$。
已知其中一個一元一次方程是$x + 6 = 4$，那么另一個一元一次方程是$x + 6 = - 4$。
