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2025年優(yōu)佳學案省考質(zhì)量監(jiān)測卷九年級數(shù)學全一冊人教版
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1. 下列方程中，是一元二次方程的是(
D
).
A.$x + 2y = 4$
B.$3x = 4$
C.$x = 2x^3 + 4$
D.$x^2 - 2 = 9$
答案：D
解析：
A. $x + 2y = 4$：含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程。
B. $3x = 4$：未知數(shù)的最高次數(shù)為1，不是一元二次方程。
C. $x = 2x^3 + 4$：未知數(shù)的最高次數(shù)為3，不是一元二次方程。
D. $x^2 - 2 = 9$：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2，是一元二次方程。
2. 方程$x^2 = 3x$的解是(
C
).
A.$x = 3$
B.$x = 0$
C.$x_1 = 3$，$x_2 = 0$
D.$x_1 = -3$，$x_2 = 0$
答案：C
解析：
將方程$x^{2}=3x$移項得到$x^{2}-3x = 0$，然后提取公因式$x$，可得$x(x - 3)=0$。根據(jù)“若兩個數(shù)的乘積為$0$，則至少其中一個數(shù)為$0$”，得到$x=0$或$x - 3 = 0$，即$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
3. 用配方法解方程$x^2 - 8x + 2 = 0$，則方程可變形為(
C
).
A.$(x - 4)^2 = 5$
B.$(x + 4)^2 = 21$
C.$(x - 4)^2 = 14$
D.$(x - 4)^2 = 8$
答案：C
解析：
將方程$x^2 - 8x + 2 = 0$移項得$x^2 - 8x = -2$，配方得$x^2 - 8x + 16 = -2 + 16$，即$(x - 4)^2 = 14$。
4. 若關(guān)于$x$的一元二次方程$mx^2 + 5x + m^2 - 2m = 0$的常數(shù)項為0，則$m$的值為(
B
).
A.1
B.2
C.0或2
D.0
答案：B
解析：
根據(jù)題意，關(guān)于$x$的方程$mx^2 + 5x + m^2 - 2m = 0$的常數(shù)項為0，即$m^2 - 2m = 0$，且$m \neq 0$（因為是一元二次方程，二次項系數(shù)不能為0）。
解方程$m^2 - 2m = 0$，可得$m(m - 2) = 0$，解得$m = 0$或$m = 2$，但由于$m \neq 0$，所以$m = 2$。
5. 若關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0(a\neq0)$的解是$x = 1$，則$2024 - 2a - 2b$的值是(
C
).
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
答案：C
解析：
因為一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0(a\neq0)$的解是$x = 1$，將$x=1$代入方程得$a×1^2 + b×1 + 1 = 0$，即$a + b + 1 = 0$，所以$a + b = -1$。則$2024 - 2a - 2b = 2024 - 2(a + b) = 2024 - 2×(-1) = 2024 + 2 = 2026$。
6. 若方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - 2x = 3$是關(guān)于$x$的一元二次方程，則$m$的值為(
B
).
A.1
B.-1
C.$±1$
D.不存在
答案：B
解析：
根據(jù)題意，方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - 2x = 3$是關(guān)于$x$的一元二次方程，因此需要滿足以下條件：
1. 方程中$x$的最高次數(shù)為2，即$|m| + 1 = 2$。
2. 方程中$x^2$的系數(shù)不為0，即$m - 1 \neq 0$。
由$|m| + 1 = 2$，可得$|m| = 1$，即$m = 1$或$m = -1$。
由$m - 1 \neq 0$，可得$m \neq 1$。
綜上，$m = -1$。
7. 若方程$3x^2 + 6x - 4 = 0$的兩個根為$x_1,x_2$，則(
D
).
A.$x_1 + x_2 = 6$
B.$x_1 + x_2 = -6$
C.$x_1 + x_2 = 2$
D.$x_1 + x_2 = -2$
答案：D
解析：
對于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），兩根之和$x_1 + x_2 = -\frac{a}$。在方程$3x^2 + 6x - 4 = 0$中，$a = 3$，$b = 6$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{6}{3} = -2$。
8. 若關(guān)于$x$的方程$3x^2 - 6x + m = 0$有兩個不等的實數(shù)根，則將$m$的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是(
B
).
答案：B
解析：
對于方程$3x^2 - 6x + m = 0$，判別式$\Delta = (-6)^2 - 4×3×m = 36 - 12m$。因為方程有兩個不等實根，所以$\Delta ＞ 0$，即$36 - 12m ＞ 0$，解得$m ＜ 3$。在數(shù)軸上表示為從3向左的射線，3處為空心圓圈，選項B符合。
9. 如果關(guān)于$x$的方程$x^2 + 2(m - 1)x + m^2 - m = 0$有兩個實數(shù)根$\alpha,\beta$，且$\alpha^2 + \beta^2 =12$，那么$m$的值為(
A
)
A.-1
B.-4
C.-4或1
D.-1或4
答案：A
解析：
已知方程有兩個實數(shù)根，則判別式 $ \Delta \geq 0 $，即：
$ \Delta = [2(m - 1)]^2 - 4 · 1 · (m^2 - m) = 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - m) $。
化簡得：
$ 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 4m = -4m + 4 \geq 0 $，
即：$ m \leq 1 $。
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：
$ \alpha + \beta = -\frac{a} = -2(m - 1) = 2 - 2m $，
$ \alpha\beta = \frac{c}{a} = m^2 - m $。
已知 $ \alpha^2 + \beta^2 = 12 $，利用平方和公式：
$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $，
代入已知條件：
$ 12 = (2 - 2m)^2 - 2(m^2 - m) $，
化簡得：
$ 12 = 4 - 8m + 4m^2 - 2m^2 + 2m $，
$ 12 = 2m^2 - 6m + 4 $，
整理為標準形式：
$ 2m^2 - 6m - 8 = 0 $，
$ m^2 - 3m - 4 = 0 $，
因式分解：
$ (m - 4)(m + 1) = 0 $，
解得：
$ m = 4 \quad 或 \quad m = -1 $。
由于之前得出 $ m \leq 1 $，因此 $ m = 4 $ 不滿足條件，舍去。
所以 $ m = -1 $。
10. 一個小組有若干人，新年互送賀卡.若全組共送賀卡72張，則這個小組共有(
C
).
A.12人
B.10人
C.9人
D.8人
答案：C
解析：
設(shè)這個小組共有$x$人，由于每兩個人之間需要互送賀卡，則每個人需要送$x - 1$張賀卡，所以共送$x(x - 1)$張賀卡．
根據(jù)題意，得$x(x - 1) = 72$，整理得$x^{2} - x - 72 = 0$，
因式分解得$(x - 9)(x + 8) = 0$，
解得$x_{1} = 9$，$x_{2} = - 8$（不合題意舍去）。
所以這個小組共有$9$人。
