學法大視野九年級數(shù)學華師大版
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2. 我們解一元二次方程$x^{2}-5x=0$時，可以運用因式分解法，將此方程化為$x(x - 5)=0$，從而得到兩個一元一次方程：x=0或x - 5=0，進而得到原方程的解為$x_{1}=0,x_{2}=5$.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學思想是( )
(A)數(shù)形結(jié)合思想
(B)轉(zhuǎn)化思想
(C)整體思想
(D)公理化思想
答案：B
解析：將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想。
3. 若關于x的方程$x^{2}=m - 1$有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是( )
(A)m＞0
(B)m≥1
(C)m＞1
(D)m≠1
答案：B
解析：方程有兩個實數(shù)根，則$m - 1\geq0$，即$m\geq1$。
4. (2024茂名期中)已知三角形的兩邊長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程$(x - 2)(x - 10)=0$的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是( )
(A)24或$2\sqrt{2}$
(B)24
(C)$2\sqrt{2}$
(D)$8\sqrt{5}$或24
答案：B
解析：方程$(x - 2)(x - 10)=0$的根為$x=2$或$x=10$。根據(jù)三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。當?shù)谌厼?時，$6 + 2=8$，不滿足兩邊之和大于第三邊（8），故舍去；當?shù)谌厼?0時，$6$，$8$，$10$滿足三邊關系，且$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，是直角三角形，面積為$\frac{1}{2}\times6\times8 = 24$。
5. 對于實數(shù)p，q，我們用符號$\min\{p,q\}$表示p，q兩數(shù)中較小的數(shù)，如$\min\{1,2\}=1$，$\min\{-\sqrt{2},-\sqrt{3}\}=-\sqrt{3}$.若$\min\{(x - 1)^{2},x^{2}\}=1$，則x的值為( )
(A)0或2
(B)1或-1
(C)1或2
(D)-1或2
答案：D
解析：分兩種情況：①$(x - 1)^{2}=1$且$x^{2}\geq1$，解得$x=0$或2，$x=0$時$x^{2}=0＜1$舍去，$x=2$符合；②$x^{2}=1$且$(x - 1)^{2}\geq1$，解得$x=\pm1$，$x=1$時$(x - 1)^{2}=0＜1$舍去，$x=-1$符合，故$x=-1$或2。
6. (2024瀏陽月考)方程$(x - 3)^{2}=1$的根為___.
答案：$x_{1}=4,x_{2}=2$
解析：開平方得$x - 3=\pm1$，解得$x=3\pm1$，即$x_{1}=4,x_{2}=2$。
7. 已知方程$x^{2}+a=0$的一個根是$x=-1$，則方程的另一個根是___.
答案：1
解析：將$x=-1$代入得$1 + a=0$，$a=-1$，方程為$x^{2}-1=0$，根為$x=\pm1$，另一個根是1。
8. 若一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的兩根分別是$m + 1$與$2m - 4$，則$\frac{a}$的值為___.
答案：4
解析：方程$x^{2}=\frac{a}$，兩根互為相反數(shù)，所以$m + 1 + 2m - 4=0$，解得$m=1$，兩根為2和-2，$\frac{a}=(\pm2)^{2}=4$。
9. 若關于x的方程$a(x + m)^{2}+b=0$的解是$x_{1}=5,x_{2}=3$（a，m，b均為常數(shù)，$a\neq0$），則方程$a(x + 4 + m)^{2}+b=0$的解是___.
答案：$x_{1}=1,x_{2}=-1$
解析：令$y=x + 4$，方程變?yōu)?a(y + m)^{2}+b=0$，其解為$y=5$或$y=3$，即$x + 4=5$或$3$，解得$x=1$或$-1$。
10. 解下列方程：
(1)$x^{2}=100$；
(2)$25 - 9x^{2}=0$；
(3)$2x^{2}-7x=0$.
答案：(1)$x_{1}=10,x_{2}=-10$
解析：開平方得$x=\pm10$。
(2)$x_{1}=\frac{5}{3},x_{2}=-\frac{5}{3}$
解析：$9x^{2}=25$，$x^{2}=\frac{25}{9}$，$x=\pm\frac{5}{3}$。
(3)$x_{1}=0,x_{2}=\frac{7}{2}$
解析：$x(2x - 7)=0$，解得$x=0$或$\frac{7}{2}$。
11. 已知$2x^{2}+3$與$2x^{2}-4$互為相反數(shù)，求x的值.
答案：$x=\pm\frac{1}{2}$
解析：由題意得$2x^{2}+3 + 2x^{2}-4=0$，合并同類項得$4x^{2}-1=0$，即$x^{2}=\frac{1}{4}$，開平方得$x=\pm\frac{1}{2}$。
12. 李老師在課堂上布置了一道如下的練習題：若$(x^{2}+y^{2}-3)^{2}=16$，求$x^{2}+y^{2}$的值.看到此題后，小梅立馬寫出了下列解題過程：
解：$\because(x^{2}+y^{2}-3)^{2}=16$，（第一步）
$\therefore x^{2}+y^{2}-3=\pm4$，（第二步）
$\therefore x^{2}+y^{2}=7,x^{2}+y^{2}=-1$.（第三步）
上述解題步驟中哪一步出錯了？請寫出正確的解題步驟.
答案：第三步出錯，$x^{2}+y^{2}=-1$舍去。
正確步驟：$\because x^{2}+y^{2}\geq0$，$\therefore x^{2}+y^{2}=-1$不合題意，舍去，故$x^{2}+y^{2}=7$。
