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2025年本土假期作業(yè)鞏固訓(xùn)練八年級(jí)數(shù)學(xué)
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專題 1 分式相關(guān)概念
知識(shí)清單
1. 分式的概念
整式 A 除以整式 B 可以表示成$\frac{A}{B}$的形式.如果除式 B 中
含有字母
，那么稱$\frac{A}{B}$為分式，其中 A 稱為分式的分子，B 稱為分式的分母，對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都
不能為零
.
2. 分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值
不變
.用式子表示：$\frac{A}{B}=\frac{A×m}{B×m}=\frac{A÷m}{B÷m}(m≠0,B≠0)$.
3. 最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)叫最簡(jiǎn)分式.
答案：1. 含有字母；不能為零
2. 不變
例 1 在$\frac{1}{x},\frac{1}{3},\frac{x^{2}+1}{x},\frac{3xy}{π},\frac{1}{x+y},1+\frac{2}{x}$中,分式的個(gè)數(shù)是( )
A.5 個(gè)
B.4 個(gè)
C.3 個(gè)
D.2 個(gè)
答案：解：根據(jù)分式的定義，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫做分式。
在給出的式子中：
$\frac{1}{x}$：分母含有字母x，是分式；
$\frac{1}{3}$：分母為常數(shù)3，不是分式；
$\frac{x^{2}+1}{x}$：分母含有字母x，是分式；
$\frac{3xy}{π}$：分母π是常數(shù)，不是分式；
$\frac{1}{x+y}$：分母含有字母x、y，是分式；
$1+\frac{2}{x}$：可變形為$\frac{x+2}{x}$，分母含有字母x，是分式。
綜上，分式有$\frac{1}{x},\frac{x^{2}+1}{x},\frac{1}{x+y},1+\frac{2}{x}$，共4個(gè)。
答案：B
例 2 下列分式中,當(dāng) a 取任何實(shí)數(shù)時(shí),該分式總有意義的是( )
A.$\frac{a - 1}{a}$
B.$\frac{a - 1}{a^{2}}$
C.$\frac{a}{a^{2}-1}$
D.$\frac{a}{a^{2}+1}$
答案：解：分式有意義的條件是分母不為0。
A. 當(dāng)$a=0$時(shí)，分母$a=0$，分式無(wú)意義；
B. 當(dāng)$a=0$時(shí)，分母$a^2=0$，分式無(wú)意義；
C. 當(dāng)$a=\pm1$時(shí)，分母$a^2 - 1=0$，分式無(wú)意義；
D. 因?yàn)?a^2\geq0$，所以$a^2 + 1\geq1 ＞ 0$，分母始終不為0，分式總有意義。
故選D。
例 3 分式$\frac{x + 5}{x - 2}$的值是零,則 x 的值為( )
A.2
B.5
C.-2
D.-5
答案：【解析】：
本題主要考查分式值為零的條件，即分子等于零且分母不等于零。
根據(jù)題目，我們有分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$，需要找到 $x$ 的值使得該分式的值為零。
首先，我們?cè)O(shè)置分子等于零，即 $x + 5 = 0$，解得 $x = -5$。
然后，我們需要驗(yàn)證分母 $x - 2$ 不等于零，當(dāng) $x = -5$ 時(shí)，$x - 2 = -5 - 2 = -7 \neq 0$。
因此，當(dāng) $x = -5$ 時(shí)，分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$ 的值為零。
【答案】：
D. $-5$
例 4 若 x,y 的值均擴(kuò)大為原來(lái)的 3 倍,則下列分式的值保持不變的是( )
A.$\frac{2 + x}{x - y}$
B.$\frac{2y}{x^{2}}$
C.$\frac{2y^{3}}{3x^{2}}$
D.$\frac{2y^{2}}{(x - y)^{2}}$
答案：解：將x，y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，分別代入各選項(xiàng)：
A. $\frac{2 + 3x}{3x - 3y} = \frac{2 + 3x}{3(x - y)} ≠ \frac{2 + x}{x - y}$，故A錯(cuò)誤；
B. $\frac{2×3y}{(3x)^2} = \frac{6y}{9x^2} = \frac{2y}{3x^2} ≠ \frac{2y}{x^2}$，故B錯(cuò)誤；
C. $\frac{2×(3y)^3}{3×(3x)^2} = \frac{2×27y^3}{3×9x^2} = \frac{54y^3}{27x^2} = \frac{2y^3}{x^2} ≠ \frac{2y^3}{3x^2}$，故C錯(cuò)誤；
D. $\frac{2×(3y)^2}{(3x - 3y)^2} = \frac{2×9y^2}{9(x - y)^2} = \frac{18y^2}{9(x - y)^2} = \frac{2y^2}{(x - y)^2}$，故D正確。
答案：D
1. 若分式$\frac{x}{x - 2}$有意義,則 x 的取值范圍是(
D
)
A.$x＞2$
B.$x≠0$
C.$x≠0且x≠2$
D.$x≠2$
答案：【解析】：
本題主要考察分式有意義的條件，即分母不能為0。
對(duì)于分式$\frac{x}{x - 2}$，其分母為$x - 2$。
要使分式有意義，需滿足條件：$x - 2 \neq 0$，
解這個(gè)不等式，得到：$x \neq 2$。
根據(jù)這個(gè)結(jié)論，可以判斷選項(xiàng)。
A. $x＞2$：這個(gè)條件過(guò)于嚴(yán)格，因?yàn)?x$只要不等于2即可，不一定大于2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤。
B. $x≠0$：這個(gè)條件沒有考慮到分母$x - 2$不能為0的要求，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤。
C. $x≠0且x≠2$：這個(gè)條件雖然包含了$x \neq 2$，但也加入了不必要的$x \neq 0$，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤。
D. $x≠2$：這個(gè)條件正好符合分母不能為0的要求，所以D選項(xiàng)正確。
【答案】：D。
