(2023年北京大學(xué)物理卓越人才培養(yǎng)計(jì)劃·題5)
(1) 證明: 對(duì)任意無理數(shù)$\omega$，存在無數(shù)個(gè)有理數(shù)$\frac{p}{q}$使得$\left|\omega-\frac{p}{q}\right|＜\frac{1}{q^{2}}$；
(2) 證明: 對(duì)無理數(shù)$\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，存在$c＞1$，使得對(duì)任意的整數(shù)$p$和$q$都有$\left|\omega-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{1}{c q^{2}}$。
答案：解析
(1) 我們首先證明一個(gè)引理: 設(shè)$\omega$為任意無理數(shù)，$n$為正整數(shù)，則存在有理數(shù)$\frac{p}{q}$使得$q ＜ n$且$\left|\omega-\frac{p}{q}\right|＜\frac{1}{q n}$。
證明 將區(qū)間$[0,1]$分成$n$個(gè)小區(qū)間$[0,\frac{1}{n}),[\frac{1}{n},\frac{2}{n}),···,[\frac{n - 2}{n},\frac{n - 1}{n}),[\frac{n - 1}{n},1],$，而$n + 1$個(gè)數(shù)$0,\{\omega\},\{2 \omega\}, ···,\{(n-1) \omega\}, 1$必存在兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)小區(qū)間。
情形1 若這兩個(gè)數(shù)為某兩個(gè)$\{i \omega\},\{j \omega\}(0 \leqslant i＜j)$，則有
$|\{i \omega\}-\{j \omega\}|＜\frac{1}{n} \Rightarrow|(i \omega-[i \omega])-(j \omega-[j \omega])|＜\frac{1}{n}$
即
$\left|\omega-\frac{[j \omega]-[i \omega]}{j-i}\right|＜\frac{1}{(j-i) n}$
此時(shí)取$p=[j \omega]-[i \omega], q=j-i$即可。
情形2 若兩個(gè)數(shù)中一個(gè)是某個(gè)$\{k \omega\}$，另一個(gè)是$1$，則有
$|\{k \omega\}-1|＜\frac{1}{n} \Rightarrow|(k \omega-[k \omega])-1|＜\frac{1}{n}$
即
$\left|\omega-\frac{[k \omega]+1}{i}\right|＜\frac{1}{k n}$
此時(shí)取$p=[k \omega]+1, q=k$即可。
由引理知: 對(duì)于每個(gè)正整數(shù)$n$都存在有理數(shù)$\frac{p_{n}}{q_{n}}$使得$\left|\omega-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|＜\frac{1}{q_{n} · n}＜\frac{1}{q_{n}^{2}}$，下面證明集合$Q=\left\{\frac{p_{n}}{q_{n}} \mid n \in \mathbf{N}_{+}\right\}$為無限集，否則必存在某個(gè)有理數(shù)$\frac{p_{m}}{q_{m}} \in Q$對(duì)應(yīng)著無窮多個(gè)正整數(shù)(不妨記為$n_{1}＜n_{2}＜···＜n_{k}＜···$)，由引理有
$\left|\omega-\frac{p_{m}}{q_{m}}\right|＜\frac{1}{q_{m} · n_{k}} \Rightarrow \lim _{k \rightarrow \infty}\left|\omega-\frac{p_{m}}{q_{m}}\right| \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{q_{m} · n_{k}}=0$
故$\omega=\frac{p_{m}}{q_{m}} \in Q$與$\omega$是無理數(shù)矛盾。于是存在無數(shù)個(gè)有理數(shù)$\frac{p}{q}$使得$\left|\omega-\frac{p}{q}\right|＜\frac{1}{q^{2}}$。
注 本題屬于數(shù)論中有理數(shù)逼近實(shí)數(shù)問題，也稱丟番圖逼近問題。
定理1(Gauss定理) 如果$x_{0}$是整系數(shù)方程$x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+···+a_{1} x+a_{0}=0$的根，那么$x_{0}$是整數(shù)或者無理數(shù)。
證明 若$x_{0}$不是無理數(shù)，那么可以設(shè)$x_{0}=p / q$ ($p$和$q$互素且$q＞0$)，將$x_{0}=p / q$代入方程，得到$p^{n}+a_{n-1} p^{n-1} q+···+a_{1} p q^{n-1}+a_{0} q^{n}=0$，上式除了第一項(xiàng)，每一項(xiàng)都是$q$的倍數(shù)，由于所有項(xiàng)相加為零，這意味著$p^{n}$是$q$的倍數(shù)，但$p$和$q$互素，這意味這$q$只能是$1$，從而$x_{0}$是整數(shù)。
定理2(有理根判別法則(牛頓試除法)) 如果$x_{0}=p / q$ ($p$和$q$互素)是整系數(shù)方程$a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+···+a_{1} x+a_{0}=0$的根，那么$p$是$a_{0}$的因子，$q$是$a_{n}$的因子。
