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2026年天舟文化精彩寒假團(tuán)結(jié)出版社八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)
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1. 下列各式由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是(
)
A.$ (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 $
B.$ x + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $
C.$ a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b) $
D.$ a(x - y) = ax - ay $
答案：C
解析：
因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式。
A選項(xiàng)是從積的形式化為多項(xiàng)式形式，不是因式分解；
B選項(xiàng)$x + 2x + 1 = x(x + 2)+1$，右邊不是積的形式，不是因式分解；
C選項(xiàng)$a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$，把多項(xiàng)式化為整式積的形式，是因式分解；
D選項(xiàng)是從積的形式化為多項(xiàng)式形式，不是因式分解。
2. 如果 $ 4x^2 - ax + 9 $ 是一個(gè)完全平方式，則 $ a $ 的值是(
)
A.$ \pm 6 $
B.$ 6 $
C.$ 12 $
D.$ \pm 12 $
答案：1. 首先，根據(jù)完全平方公式$(m\pm n)^2 = m^2\pm2mn + n^2$：
對(duì)于$4x^{2}-ax + 9$，其中$4x^{2}=(2x)^{2}$，$9 = 3^{2}$。
設(shè)$m = 2x$，$n = 3$，那么$-ax=\pm2×(2x)×3$。
2. 然后，計(jì)算$\pm2×(2x)×3$的值：
先計(jì)算$2×(2x)×3$，根據(jù)乘法運(yùn)算$2×2×3x=12x$，$-2×(2x)×3=-12x$。
因?yàn)?-ax=\pm12x$，等式兩邊$x$的系數(shù)相等（$x≠0$時(shí)，當(dāng)$x = 0$時(shí)，原式變?yōu)?9$，$a$取任何值都不影響，但對(duì)于二次式$4x^{2}-ax + 9$，$x$是變量，這里考慮一般情況），所以$-a=\pm12$。
解得$a=\pm12$。
所以$a$的值是$\pm12$，答案是D。
解析：
因?yàn)?4x^2 - ax + 9 = (2x)^2 - ax + 3^2$是完全平方式，所以$-ax = \pm 2 × 2x × 3$，即$-ax = \pm 12x$，則$a = \pm 12$。
3. 將 $ 3a(x - y) - b(x - y) $ 用提公因式法分解因式，應(yīng)提的公因式是(
)
A.$ 3a - b $
B.$ 3(x - y) $
C.$ x - y $
D.$ 3a + b $
答案：C
解析：
在多項(xiàng)式$3a(x - y) - b(x - y)$中，每一項(xiàng)都含有$(x - y)$這個(gè)因式，根據(jù)提公因式法，應(yīng)提的公因式是$x - y$。
4. 把多項(xiàng)式 $ a^2 - 4a $ 分解因式的正確結(jié)果是(
)
A.$ a(a - 4) $
B.$ (a + 2)(a - 2) $
C.$ a(a + 2)(a - 2) $
D.$ (a - 2)^2 - 4 $
答案：A
解析：
對(duì)多項(xiàng)式$a^2 - 4a$分解因式，可利用提取公因式法，觀察多項(xiàng)式兩項(xiàng)，公因式為$a$，將其提出可得$a^2 - 4a=a(a - 4)$。
5. 把 $ 5(a - b) + m(b - a) $ 提公因式后一個(gè)因式是 $ (a - b) $，則另一個(gè)因式是(
)
A.$ 5 - m $
B.$ 5 + m $
C.$ m - 5 $
D.$ -m - 5 $
答案：A
解析：
先將原式中$m(b - a)$變形為$-m(a - b)$，那么原式$5(a - b) + m(b - a)=5(a - b)-m(a - b)$。
再提取公因式$(a - b)$可得$(a - b)(5 - m)$，所以另一個(gè)因式是$5 - m$。
6. 下列多項(xiàng)式，能用公式法分解因式的有(
)
① $ x^2 + y^2 $；② $ -x^2 + y^2 $；③ $ x^2 + 2xy - y^2 $；④ $ -x^2 + 4xy - 4y^2 $.
A.$ 1 $ 個(gè)
B.$ 2 $ 個(gè)
C.$ 3 $ 個(gè)
D.$ 4 $ 個(gè)
答案：B
解析：
① $x^2 + y^2$：兩平方項(xiàng)符號(hào)相同，無(wú)法用平方差公式分解，不符合；
② $-x^2 + y^2 = y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$，符合平方差公式；
③ $x^2 + 2xy - y^2$：三項(xiàng)中，$x^2 + 2xy$ 為完全平方一部分，但減去 $y^2$ 后無(wú)法直接應(yīng)用完全平方或平方差公式，不符合；
④ $-x^2 + 4xy - 4y^2 = -(x^2 - 4xy + 4y^2) = -(x - 2y)^2$，符合完全平方公式。
綜上，能用公式法分解的有②和④，共2個(gè)。
7. 將多項(xiàng)式 $ x^2 + 4 $ 加上一個(gè)整式，使它成為完全平方式.試寫(xiě)出滿足此條件的一個(gè)整式：
.
答案：$4x$
解析：
要使多項(xiàng)式 $x^2 + 4$ 成為完全平方式，需考慮完全平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。
情況1：當(dāng) $x^2 + 4$ 為平方項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)時(shí)
設(shè)添加的整式為 $2ab$，其中 $a = x$，$b^2 = 4$，則 $b = \pm 2$。
此時(shí) $2ab = 2 · x · (\pm 2) = \pm 4x$。
添加 $\pm 4x$ 后，$x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$，為完全平方式。
情況2：當(dāng) $x^2$ 為中間項(xiàng)時(shí)
設(shè)完全平方式為 $(\frac{x^2}{4} + 2)^2 = \frac{x^4}{16} + x^2 + 4$，此時(shí)需添加 $\frac{x^4}{16}$。
情況3：當(dāng) $4$ 為中間項(xiàng)時(shí)
設(shè)完全平方式為 $(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$，此時(shí)需添加 $3x^2$（但此情況可歸為情況2的變形，且題目只需寫(xiě)出一個(gè)整式）。
滿足條件的一個(gè)整式為：$4x$（或 $-4x$、$\frac{x^4}{16}$ 等，任選其一即可）。
8. 如果 $ x - y = 2 $，$ x + y = 5 $，則 $ x^2 - y^2 = $
.
答案：因?yàn)?x - y = 2$，$x + y = 5$，根據(jù)平方差公式$x^2 - y^2=(x - y)(x + y)$，所以$x^2 - y^2=2×5=10$。
10
9. 若 $ ab = -3 $，$ a^2b + ab^2 = 15 $，則 $ a + b $ 的值是
.
答案：由已知$a^{2}b + ab^{2} = 15$，提取公因式$ab$可得：$ab(a + b) = 15$，
因?yàn)?ab = - 3$，將其代入$ab(a + b) = 15$中，得到$-3(a + b) = 15$，
兩邊同時(shí)除以$-3$，解得$a + b = - 5$。
故答案為：$-5$。
