Question

【題目】在直角梯形（如圖1），，，，，為線段中點.將沿折起，使平面平面，得到幾何體（如圖2）.

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過計算結(jié)合勾股定理的逆定理可以證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進行證明即可；

（2）法一、

取的中點連接，根據(jù)，結(jié)合三棱錐的體積公式進行求解即可；

法二、

取的中點連接，由題設(shè)可知為等腰直角三角形，所以面，連接，因為分別為和的中點，所以，由（1）可知，故以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示.運用向量法求解即可.

解：（1）由題設(shè)可知，，

∴∴

又∵平面平面，平面平面

∴面.

（2）法一、等體積法

取的中點連接，由題設(shè)可知為等腰直角三角形，所以面

∵且

而

∴到面的距離，

所以.

法二、向量法

取的中點連接，由題設(shè)可知為等腰直角三角形，所以面，連接，因為分別為和的中點，所以，由（1）可知，故以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，，，

∴

∴面的一個法向量

∴