Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和S_n=

1

2

（a_n-1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前2n項的和T_2n．

Answer 1

分析：（1）n=1，先求出a₁，利用條件再寫一式，兩式相減，可得a_n-a_n-1=1，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}的前2n項的和T_2n=-a₁a₂+a₂a₃-…+a_2na_2n+1=2（a₂+a₄+…+a_2n），又a₂，a₄，…，a_2n是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，從而可得結論．

解答：解：（1）當n=1時，S₁=

1

2

（a₁-1）（a₁+2），所以a₁=-1或a₁=2，
因為數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，所以a₁=2                        …（2分）
當n≥2時，S_n=

1

2

（a_n-1）（a_n+2），S_n-1=

1

2

（a_n-1-1）（a_n-1+2），
兩式相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，…（6分）
又因為數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，所以a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，
所以a_n=n+1；                                  …（8分）
（2）因為b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，
所以數(shù)列{b_n}的前2n項的和T_2n=-a₁a₂+a₂a₃-…+a_2na_2n+1=2（a₂+a₄+…+a_2n），…（11分）
又a₂，a₄，…，a_2n是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以a₂+a₄+…+a_2n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，
故T_2n=2n²+4n．                              …（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查數(shù)列遞推式，確定數(shù)列的通項是關鍵．