Question

15．已知拋物線M：y²=3x，過點（3，0）的直線l交拋物線M于A，B兩點，則∠AOB=90°．

Answer 1

分析 設直線l的方程為x=ty+3，代入拋物線方程，由韋達定理求得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，則∠AOB=90°．

解答 解：依題意知直線l斜率不為0，則可設直線l的方程為x=ty+3，
代入y²=3x，得y²-3ty-9=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=3t，y₁y₂=-9．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₁，
=（ty₁+3）（ty₂+3）+y₁y₁，
=（1+t²）y₁y₁+3t（y₁+y₂）+9，
=（1+t²）（-9）+3t×3t+9，
=0
所以$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即∠AOB=90°．
故答案為：90°．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．