Question

5．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P是A₁C₁上任意一點(diǎn)，記平面PAB、平面PBC與下底面所成的二面角分別為α，β，則tan（α+β）的最小值為-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 連P作PO⊥底面ABCD，過(guò)O分別作OM⊥AB，ON⊥BC，則∠PMO=α，∠PNO=β，由此利用二次函數(shù)性質(zhì)能求出能求出tan（α+β）的最小值．

解答 解：連P作PO⊥底面ABCD，過(guò)O分別作OM⊥AB，ON⊥BC，
則∠PMO=α，∠PNO=β，
∵PO=1，∴tan$α=\frac{1}{OM}$，tanβ=$\frac{1}{ON}$，
∴tan（α+β）=$\frac{\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}}{1-\frac{1}{OM}•\frac{1}{ON}}$=$\frac{OM+ON}{OM•ON-1}$，
設(shè)OA=x，0＜x＜$\sqrt{2}$，
則tan（α+β）=$\frac{OM+ON}{OM•ON-1}$
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}-x）}{\frac{\sqrt{2}}{2}x•\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}-x）-1}$
=$\frac{1}{\frac{1}{2}x（\sqrt{2}-x）-1}$=$\frac{1}{-\frac{1}{2}（{x}^{2}-\sqrt{2}x）-1}$
=$\frac{1}{-\frac{1}{2}（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-\frac{3}{4}}$$≥-\frac{4}{3}$．
∴tan（α+β）的最小值為-$\frac{4}{3}$．
故答案為：-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩個(gè)面面角和的正切值的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．