Question

18．若以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1（{a＞0}）$的左、右焦點和點$（{2，\sqrt{5}}）$為頂點的三角形為直角三角形，則該雙曲線的焦距為（　�。�

• A． $2\sqrt{5}$
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由題意可知，求得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2+c，$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（2-c，$\sqrt{5}$），由題意可知，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，即可求得c的值，則雙曲線的焦距．

解答 解：由題意可知：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P$（{2，\sqrt{5}}）$，
$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2+c，$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（2-c，$\sqrt{5}$），
則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，即（2+c，$\sqrt{5}$）（2-c，$\sqrt{5}$）=0，即4-c²+5=0，c=3，
雙曲線的焦距2c=6，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．