Question

【題目】設(shè)是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)．

設(shè)函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在上不存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）

【解析】

（1）根據(jù)新定義，當(dāng)時(shí)，，求出，即可得出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）由于函數(shù)在上不存在不動(dòng)點(diǎn)，則在區(qū)間上無解，即在上無解，利用換元法，令，，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上無解，構(gòu)造新函數(shù)并求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的恒成立問題，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（1）根據(jù)題目給出的“不動(dòng)點(diǎn)”的定義，可知：

當(dāng)時(shí)，，

得，所以，所以，

所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為0．

（2）根據(jù)已知，得在區(qū)間上無解，

所以在上無解，

令，，所以，

即在區(qū)間上無解，

所以在區(qū)間上無解，

設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故，

所以或，所以或，

又因?yàn)?/span>在區(qū)間上恒成立，

所以在區(qū)間上恒成立，

設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故，所以，所以．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．