Question

2．已知命題p：函數(shù)f（x）=ln（e^x-x+a²-10）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的值域為R，命題q：${∫}_{0}^{a}$（$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$+$\frac{1}{x+1}$）dx＞$\frac{π}{4}$+ln2．若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，那么實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （1，3]
• B． （-∞，-3）
• C． [-3，1]∪（3，+∞）
• D． （-∞，1]∪（3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域與定義域便知道函數(shù)f（x）有意義時，e^x-x+a²-10的取值范圍為（0，+∞），而對函數(shù)e^x-x+a²-10取導數(shù)容易求出該函數(shù)有極小值，即得到e^x-x+a²-10≥a²-9，從而得出a²-9≤0，-3≤a≤3．對于命題q中的定積分，關鍵求出${{∫}_{0}}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$：令x=asinθ，該定積分便等于${{∫}_{0}}^{\frac{π}{2}}{a}^{2}co{s}^{2}θdθ=\frac{{a}^{2}π}{4}$，從而便可求得原定積分，從而得到$\frac{{a}^{2}π}{4}+ln（a+1）＞\frac{π}{4}+ln2$，這便可求出a＞1，根據(jù)已知條件知道p真q假，或p假q真，求出每種情況下的a的取值范圍再求并集即可．

解答 解：（1）對于命題p，要使f（x）的值域為R；
則要使f（x）有意義，e^x-x+a²-10的取值范圍為（0，+∞）；
設g（x）=e^x-x+a²-10，g′（x）=e^x-1；
∴x＜0時，g′（x）＜0；x＞0時，g′（x）＞0；
∴g（0）=a²-9是g（x）的極小值；
∴g（x）≥a²-9；
∴a²-9≤0；
∴-3≤a≤3；
（2）對于命題q，先求${{∫}_{0}}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$；
設x=asinθ，則${{∫}_{0}}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$=${{∫}_{0}}^{\frac{π}{2}}{a}^{2}co{s}^{2}θdθ$=${a}^{2}{{∫}_{0}}^{\frac{π}{2}}\frac{1+cos2θ}{2}dθ$=$\frac{{a}^{2}θ}{2}{{|}_{0}}^{\frac{π}{2}}+\frac{{a}^{2}sin2θ}{4}{{|}_{0}}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{{a}^{2}π}{4}$；
∴${{∫}_{0}}^{a}（\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}+\frac{1}{x+1}）dx$=$\frac{{a}^{2}π}{4}+ln（a+1）$；
∴$\frac{{a}^{2}π}{4}+ln（a+1）＞\frac{π}{4}+ln2$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞1}\\{a＞1}\end{array}\right.$；
∴a＞1；
若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，則p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3≤a≤3}\\{a≤1}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{a＜-3，或a＞3}\\{a＞1}\end{array}\right.$；
∴-3≤a≤1，或a＞3；
∴實數(shù)a的取值范圍是[-3，1]∪（3，+∞）．
故選C．

點評 考查對數(shù)函數(shù)的定義域與值域，根據(jù)函數(shù)導數(shù)求函數(shù)極值的方法與過程，換元法求定積分的方法與過程，熟練對數(shù)的導數(shù)，正弦函數(shù)的導數(shù)，求定積分的方法，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的關系．