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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，在底面ABC上的射影為的重心G.

（1）已知，證明：平面平面；

（2）若三棱柱的側棱與底面所成角的正切值為，，求點到平面的距離.

【答案】（1）證明見詳解，（2）.

【解析】

（1）先證明和，然后得出平面即可

（2）由條件算出，，，，，然后利用求解即可.

（1）連結并延長交于

由已知得平面，且

所以，因為，所以平面

所以

因為四邊形是平行四邊形，且

所以四邊形是菱形，所以

因為，所以平面

因為平面，所以平面平面

（2）因為平面，所以側棱與底面所成的角為

即

因為，所以，

因為在底面ABC上的射影為的重心G，

所以等邊三角形的邊長

同理，在直角三角形中，

因為在底面ABC上的射影為的重心G，

所以，且

因為，所以平面

所以，因為，所以

所以在直角三角形中，

因為，所以為直角三角形

設點到平面的距離為，由得

，所以可得

即點到平面的距離為

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A.4800種B.2400種C.1200種D.240種

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