Question

【題目】如圖，已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè)，求證：為定值．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】

先討論當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，從而λ=2，μ=，λ+μ=；在討論AB存在斜率時(shí)，：=.

證明：當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，

從而λ=2，μ=，λ+μ=；

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O不重合時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率存在；

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

則Q（﹣，0）；

由題設(shè)，得x1+=λx1，x2+=μx2，

即λ=1+，μ=1+；

所以λ+μ=（1+）+（1+）=2+；

將y=kx+1代入x2+y2=4，得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，

則△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，

所以λ+μ=2+；

綜上，λ+μ為定值．