Question

【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)， 的坐標(biāo)為， 在線(xiàn)段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求的軌跡的方程.

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，A，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，利用相關(guān)點(diǎn)法計(jì)算可得點(diǎn)的軌跡的方程為.

(Ⅱ)由題意可得原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.分類(lèi)討論：

若斜率不存在，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)符合題意；

若斜率存在時(shí)，由題意可得關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，則，直線(xiàn)的方程為.

綜上可得直線(xiàn)的方程為或.

試題解析：

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

依題意得，

解得，

又，所以，即

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

(Ⅱ)因?yàn)橹本�(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且，

所以原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

若斜率不存在，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)符合題意；

若斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，

則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，解得，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為

所以直線(xiàn)的方程為或.