Question

【題目】如圖，在三棱柱中， ， 是線段的中點，且 平面．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證： 平面；

（Ⅲ）若， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，可得，由 平面可得．根據線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結論；（Ⅱ）連接，設，根據三角形中位線定理可得，從而根據線面平行的判定定理可得平面；（Ⅲ）取的中點，則，因為，所以，又因為平面，所以兩兩垂直．以為原點，分別以為軸建立空間坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程組，分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為，所以．

根據題意， 平面， 平面，所以．

因為，所以平面．

又因為平面，所以平面平面．

（Ⅱ）證明：連接，設，連接根據棱柱的性質可知， 為的中點，因為是的中點，所以．又因為平面，

平面，

所以平面．

（Ⅲ）如圖，取的中點，則，因為，所以，

又因為平面，所以兩兩垂直．以為原點，分別以為軸建立空間坐標系（如圖）.

由（Ⅰ）可知， 平面,

所以．又因為， ,所以平面，所以，所以四邊形為菱形．

由已知，

則， ， ， ．

設平面的一個法向量為，

因為， ，所以，即

設，則．

再設平面的一個法向量為，

因為， ，所以，即

設，則．故．

由圖知，二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的證明以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.