Question

【題目】已知函數(shù)，，其中．

(I)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(Ⅱ)證明： 在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出在的導(dǎo)數(shù)即可得切線(xiàn)的斜率，也就得到在處切線(xiàn)方程．（Ⅱ）先研究函數(shù)的單調(diào)性，其導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，利用三角函數(shù)的符號(hào)可以判斷出，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為函數(shù)的極大值點(diǎn)．結(jié)合， 可以判斷在存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，故在上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，所以，故，又，故曲線(xiàn)在的切線(xiàn)方程為．

（Ⅱ）．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，故，所以在是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ，令，此方程有唯一解．

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ， 在上是單調(diào)減函數(shù)；

因?yàn)?/span>的圖像是不間斷的，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，在上是單調(diào)減函數(shù)． 又， ，而，故，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和的單調(diào)性可知在存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，故在上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)．