Question

已知函數f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）利用導函數求出切線的斜率，用直線的點斜式方程求切線的方程；
（2）利用導函數值的正負得到函數的單調區(qū)間，注意導函數中有參數a，故可能要分類討論；
（3）利用導數研究函數在區(qū)間上的最值情況，得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，
f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

=

2x

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2+1)-2x•2x

(x2+1)2

=

-2(x-1)(x+1)

(x2+1)2

．
∴f（0）=0，f′（0）=2．
∴曲線y=f（x）在原點處的切線方程為：y=2x．
（2）∵f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，
∴f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax+a2-1)

(x2+1)2

=

-2(ax-1)(x+a)

(x2+1)2

，
①當a=0時，f′（x）=

2x

(x2+1)2

．
所以f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．        
當a≠0，f′（x）=

-2a(x- 1 a )(x+a)

(x2+1)2

．
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a，x₂=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調減區(qū)間是（-∞，-a），（

1

a

，+∞）；單調增區(qū)間是（-a，

1

a

）．  …（7分）
③當a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，

1

a

）；單調減區(qū)間是（-

1

a

，-a），（-a，+∞）．
（3）解：由（2）得，a=0時不合題意．                       
當a＞0時，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，

1

a

）單調遞增，在（

1

a

，+∞）單調遞減，
若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，
則f（0）≤f（2），且

1

a

＜2，
即a²-1≤

a2+4a-1

5

且a＞

1

2

，
解得：

1

2

＜a≤

1+ 5

2

，
當a＜0時，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）單調遞減，在（-a，+∞）單調遞增，
若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，
則f（0）≥f（2），且-a＜2，
即a²-1≥

a2+4a-1

5

且a＞-2，
解得：-2＜a≤

1- 5

2

，
綜上，a的取值范圍是（-2，

1- 5

2

]∪（

1

2

，

1+ 5

2

]．

點評：本題主要考查了函數的導數的幾何意義的應用，導數在函數的單調區(qū)間及函數的最值求解中的應用，屬于中檔試題