Question

（16分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．

（1）當時，求函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；

①直接寫出的范圍（不必證明）；

②若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）。

【解析】本試題主要是考查了抽象函數(shù)的解析式的求解和單調(diào)性的證明以及解不等式。

（1）因為當時，，又因為為奇函數(shù)，所以，進而得到解析式。

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，對于參數(shù)a分為正負來討論得到取值范圍。

（3）因為，∴

所以是奇函數(shù)，∴，而又因為為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)的思想得到范圍。

（1）當時，，又因為為奇函數(shù)，

所以

所以                     …………………………6分

（2）①當時，對稱軸，所以在上單調(diào)遞減，

由于奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，

又在上，在上，

所以當a0時，為R上的單調(diào)遞減函數(shù)

當a>0時，在上遞增，在上遞減，不合題意

所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時，a的范圍為a………………………………………….10分

②因為，∴

所以是奇函數(shù)，∴            …………………………12分

又因為為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，…………………14分

所以恒成立， 所以  …………………………16分