Question

16．定義：對于任意n∈N^*，滿足條件$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$且a_n≤M（M是與n無關的常數(shù)）的無窮數(shù)列{a_n}稱為M數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且b₂=-3，S₅=-25，判斷數(shù)列{b_n}是否是M數(shù)列，并說明理由；
（2）若各項為正數(shù)的等比數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，且${c_3}=\frac{1}{4}，{T_3}=\frac{7}{4}$，證明：數(shù)列{T_n}是M數(shù)列，并指出M的取值范圍；
（3）設數(shù)列${d_n}=|{\frac{p}{n}-1}|（{n∈{N^*}，p＞1}）$，問數(shù)列{d_n}是否是M數(shù)列？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等差數(shù)列的性質求得b₃=-5，即可求得b_n，根據等差數(shù)列等差中項，即可求得b_n≤b₁=-1，數(shù)列{b_n}是否是M數(shù)列；
（2）由等比數(shù)列的性質，求得公比q，$\frac{{T}_{n}+{T}_{n+2}}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=T_n+1，且T_n＜2，則$\underset{lim}{n→∞}$T_n=2，即可求得M的取值范圍；
（3）假設數(shù)列{d_n}是否是M數(shù)列，則丨$\frac{p}{n}$-1丨+丨$\frac{p}{n+2}$-1丨-2丨$\frac{p}{n+1}$-1丨≤0，n∈N*，成立，分類討論，根據p的取值范圍，去掉絕對值，即可q的取值范圍．

解答 解：證明：（1）設等差數(shù)列{b_n}公差為d，由等差數(shù)列性質可知：S₅=5b₃，則b₃=-5．
則d=b₃-b₂=-2，
則等差數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=b₃+（n-3）=-2n+1，
由$\frac{_{n}+_{n-2}}{2}$=$\frac{（-2n-1）+（-2n-3）}{2}$=-2n-1=b_n+1，且b_n≤b₁=-1，
數(shù)列{b_n}是否是M數(shù)列；
證明：（2）由數(shù)列{c_n}為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，公式q＞0，
將c₃=$\frac{1}{4}$代入T₃=$\frac{{c}_{3}}{{q}^{2}}$+$\frac{{c}_{3}}{q}$+c₃=$\frac{7}{4}$，整理得：6q²-q-1=0，解得：q=$\frac{1}{2}$，
則$\frac{{T}_{n}+{T}_{n+2}}{2}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+2}}$=2-$\frac{5}{{2}^{n+2}}$＜2-$\frac{4}{{2}^{n+2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=T_n+1，
且T_n＜2，則$\underset{lim}{n→∞}$T_n=2，
數(shù)列{T_n}是M數(shù)列，且M≥2．
∴M的取值范圍[2，+∞）；
（3）若數(shù)列{d_n}是否是M數(shù)列，則d_n+d_n+2-2d_n+1≤0，n∈N*，成立，
即丨$\frac{p}{n}$-1丨+丨$\frac{p}{n+2}$-1丨-2丨$\frac{p}{n+1}$-1丨≤0，n∈N*，成立，②成立，
先考慮n=1時，由②可知：（p-1）+丨$\frac{p}{3}$-1丨-2丨$\frac{p}{2}$-1丨≤0，
由p＞1，則（p-1）+（1-$\frac{p}{3}$）+2（1-$\frac{p}{2}$）≤0成立，解得：1＜p≤$\frac{6}{5}$，
當n≥2時，則丨$\frac{p}{n}$-1丨+丨$\frac{p}{n+2}$-1丨-2丨$\frac{p}{n+1}$-1丨=（1-$\frac{p}{n}$）+（1-$\frac{p}{n+2}$）-（1-$\frac{p}{n+1}$）=p×$\frac{-n-2}{n（n+1）（n+2）}$＜0，
故n∈N*，成立，②恒成立，
同時，d_n=丨$\frac{p}{n}$-1丨≤1，則數(shù)列{d_n}是否是M數(shù)列，
當2＜p≤3時，（p-1）+（1-$\frac{p}{3}$）-2（$\frac{p}{2}$-1）≤0，此時p不存在，故n=1時，②不成立，
當p＞3時，則（p-1）+（$\frac{p}{3}$-1）-2（$\frac{p}{2}$-1）≤0，此時p不存在，故n=1時，②不成立，
綜上可知當1＜p≤$\frac{6}{5}$，數(shù)列{d_n}是M數(shù)列，
當p＞$\frac{6}{5}$，數(shù)列{d_n}不是M數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質，考查數(shù)列的新定義，考查分類討論思想，屬于難題．