Question

【題目】已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，直線l分別與以，為直徑的圓相切于A，B兩點(diǎn)，若向量，的夾角為，則=___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先將圖象畫出來，設(shè)以PF1，PF2為直徑的圓的圓心分別為C，D，連接AC，BD，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，易證四邊形ABDE是矩形，根據(jù)幾何關(guān)系可得|CE|===5，由可得，又向量的夾角即為的夾角，從而.

如圖，設(shè)以PF1，PF2為直徑的圓的圓心分別為C，D，連接AC，BD，

過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，則，

因?yàn)橹本�AB是圓C和圓D的公切線，且切點(diǎn)分別是A，B，

所以AC⊥AB，BD⊥AB，則四邊形ABDE是矩形，所以|AB|=|DE|，|AE|=|BD|.

且，，易知|CE|=|AC|-|AE|=|AC|-|BD|=，

根據(jù)雙曲線的定義知，|PF1|-|PF2|=10，所以|CE|=5.

因?yàn)?/span>，由|可得，

即|AB|=3，因?yàn)橄蛄?/span>的夾角即為的夾角，

所以.

故答案為：.