Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：（）的焦點(diǎn)為

（1）動(dòng)直線l過F點(diǎn)且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在y軸的左側(cè)，過點(diǎn)M作拋物線C準(zhǔn)線的垂線，垂足為M1，點(diǎn)E在上，且滿足連接并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D，的面積為，求拋物線C的方程及D點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)H為拋物線C準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過H作拋物線C的兩條切線,，切點(diǎn)為A，B，證明直線過定點(diǎn)，并求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（0，4）（2）證明見解析，面積最小值為4

【解析】

(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的方程,設(shè)，由向量共線定理可得,求得M的坐標(biāo)，代入拋物線方程可得，即可求解；

（2））設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得拋物線在A, B處的切線的方程，由兩點(diǎn)確定一直線可得AB的方程，進(jìn)而得到恒過定點(diǎn)F,再討論t=0, ，寫出即可求最值.

（1）因?yàn)?/span>，所以拋物線C：，

設(shè)，

因?yàn)?/span>，，，

所以，，

又因?yàn)?/span>，，推出，

M在拋物線C上，，

解得，故 D（0,4）

（2）設(shè)點(diǎn)，，.

由C：，

即，得，

所以拋物線C：在點(diǎn)處的切線的方程為，

即，

因?yàn)?/span>，，

因?yàn)?/span>在切線上，

所以①

同理②；

綜合①②得，點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程，

即直線恒過拋物線焦點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，此時(shí)，可知，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線的斜率為，得，

于是，而，

把直線代入C：中，消去x得，，

即，

當(dāng)時(shí)，最小，且最小值為4.