Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A，B．
（1）求k的取值范圍；
（2）求AB中點的軌跡方程；
（3）以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，是否存在常數k，使得直線OD與PQ平行？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）先把圓的方程整理成標準方程，進而求得圓心，設出直線方程代入圓方程整理后，根據判別式大于0求得k 的范圍．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入圓x²+y²-12x+32=0，利用點差法能求出AB中點的軌跡方程．
（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據（1）中的方程和韋達定理可求得x₁+x₂的表達式，根據直線方程可求得y₁+y₂的表達式，進而根據直線OD與PQ平行可推知（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），進而求得k，根據（1）k的范圍可知，k不符合題意．

解答： 解：（1）圓的方程可寫成（x-6）²+y²=4，
所以圓心為Q（6，0），過P（0，2）
且斜率為k的直線方程為y=kx+2．
代入圓方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直線與圓交于兩個不同的點A，B等價于：
△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范圍為（-

3

4

，0）．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x，y），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入圓x²+y²-12x+32=0，得：

x12+y12-12x1+32=0 x22+y22-12x2+32=0

，
兩式相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）-12（x₁-x₂）=0，
∴（2x-12）（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

6-x

y

，
又∵直線AB過M（x，y），P（0，2），∴k=

y-2

x

，
∴中點M的軌跡方程為

6-x

y

=

y-2

x

，整理，得：x²+y²-6x-2y=0．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OD

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由方程①，x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4． ③
而P（0，2），Q（6，0），

PQ

=（6，-2）．
∵直線OD與PQ平行，∴（x₁+x₂）=-3（y₁+y₂），
將②③代入上式，解得k=-

3

4

．
∵k的取值范圍為（-

3

4

，0），∴沒有符合題意的常數k．
故存在常數k，使得直線OD與PQ平行．

點評：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運用．常需要把直線方程與圓的方程聯立，利用韋達定理和判別式求得問題的解，是中檔題．