Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b=c，∠A的平分線為AD，若

AB

•

AD

=m

AB

•

AC

（1）當(dāng)m=2時(shí)，求cosA的值；
（2）當(dāng)

a

b

∈(1，

2 3

3

)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：計(jì)算題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意得，

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

）；從而可得

1

2

AB

•（

AB

+

AC

）=2

AB

•

AC

；從而可得cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

1

3

；
（2）

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=

2b2-a2

2

，從而可得m=

AB • AD

AB • AC

=

1

2

AB 2

AB • AC

+

1

2

=

1

2-( a b )2

+

1

2

；從而求取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得，

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

）；
故

1

2

AB

•（

AB

+

AC

）=2

AB

•

AC

；
故

AB

²=3

AB

•

AC

；
故cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

1

3

；
（2）

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA
=

2b2-a2

2

；
故m=

AB • AD

AB • AC

=

1

2

AB 2

AB • AC

+

1

2

=

b2

2b2-a2

+

1

2

=

1

2-( a b )2

+

1

2

；
∵

a

b

∈(1，

2 3

3

)，∴（

a

b

）²∈（1，

4

3

）；
故1＜

1

2-( a b )2

＜

3

2

；
在

3

2

＜

1

2-( a b )2

+

1

2

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用即解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．