Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，如果a_n+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項，那么a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{10{0}^{2}}$的值是$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 a_n+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項，可得${a}_{n+1}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，化為：a_na_n+1+1=2a_n+1，化為$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，利用等差數(shù)列的通項公式可得：解得a_n．可得$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：∵a_n+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項，
∴${a}_{n+1}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，
化為：a_na_n+1+1=2a_n+1，
化為$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差數(shù)列，首項為-2，公差為-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-2-（n-1）=-n-1，
解得a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{100}}{10{0}^{2}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$
=1-$\frac{1}{101}$
=$\frac{100}{101}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．